Compton est né à Londres le 29 juillet 1849.

En 1863, il commençe ses premières études d'après nature et fréquente diverses écoles d'art en Angleterre.

En 1867, sa famille déménage à Darmstadt. Lors de vacances en Suisse, la montagne le fascine, il décide de peindre les montagnes et de faire de l'alpinisme.

À partir de 1869, Compton vit à Munich, il expose au Glass Palace deux ans plus tard.

Après son mariage en 1872, avec sa femme ils font un voyage de deux ans à travers le Tyrol, la Carinthie, l'Italie et la Suisse. Compton s'est ensuite rendu en Afrique du Nord, en Espagne, en Corse et en Scandinavie.

En 1874, il s'installe en Bavière, à Feldafing, près du lac de Starnberg et se déplace fréquemment dans les Alpes.

Au début, son style est influencé par le romantisme anglais, mais il se tourne ensuite vers un style plus réaliste. Il traite les impressions acquises lors de randonnées en montagne dans les Alpes, les Pyrénées, la Corse et l'Écosse dans des peintures à l'huile, des aquarelles et des dessins à l'encre, qui ont une valeur documentaire grâce à leurs vues topographiquement correctes. En 1880, il devient membre du Club alpin autrichien, de la Royal Academy de Londres et de l'Alpine Club britannique. En plus de son travail de peintre, Compton travaille également comme illustrateur pour divers magazines et publications alpines.

En plus d'être peintre, Compton était un alpiniste passionné. Il a gravi plus de 300 montagnes, dont le Cervin et le Mont Blanc. Ses sorties en montagne ont servi son art, lui permettant de représenter avec précision les paysages vus et les ambiances vécues.